УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Для понимания материалов настоящего раздела рекомендуется просмотреть материалы раздела ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.


Полином нескольких переменных

Будем обозначать через \mathbb A_{} какое-либо из множеств \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} или \mathbb C_{}.

Общая информация

Функция от переменных x_{1},x_2,\dots,x_{\ell} называется мономом относительно этих переменных, если она представима в виде произведения степенных функций этих переменных:

x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} = \prod_{j=1}^{\ell} x_j^{k_j} \ ,

где k_{1},k_2,\dots,k_{\ell} — неотрицательные целые числа. Число k_{j} называется степенью монома по переменной x_{j}:

\deg_{ x_j} \left( x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \right) =k_j \ ,

а число

\deg \left( x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \right) = k_1+k_2+\dots+k_{\ell}= \sum_{j=1}^{\ell} k_j

степенью монома. При a\in \mathbb A_{} функция

ax_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}}

называется одночленом переменных x_1,x_{2},\dots,x_{\ell} над множеством \mathbb A_{}, число a_{} тогда называется коэффициентом одночлена. Если a_{}\ne 0, то степень одночлена определяется как степень его монома

\deg \left(a x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \right) =\sum_{j=1}^{\ell} k_j \ ;

в случае a_{}=0 степень одночлена не определяется. Два одночлена, имеющие одинаковые мономы, называются подобными. Полиномом (или многочленом) от переменных x_1,x_{2},\dots,x_{\ell} над множеством \mathbb A_{} называется формальная сумма одночленов над множеством \mathbb A_{}. Как и для случая полиномов от одной переменной, будем записывать полином с помощью строчных латинских букв: f(x_1,x_{2},\dots,x_{\ell}), g(x_1,x_{2},\dots,x_{\ell}), \dots Условимся не выписывать в полиноме одночлены с нулевыми коэффициентами и приводить подобные одночлены: сумму

ax_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}}+ bx_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}}

считать равной

(a+b)x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \ ,

а произведение

cx_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \times dx_1^{j_1}x_2^{j_2} \times \dots \times x_{\ell}^{j_{\ell}}

— равным

cd x_1^{j_1+k_1}x_2^{j_2+k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{j_{\ell}+k_{\ell}} \ .

Сумма и произведение полиномов нескольких переменных определяются по аналогии со случаем одной переменной. Множество всех полиномов от переменных x_{1},\dots,x_{\ell} с коэффициентами из \mathbb A_{} обозначается \mathbb A [x_{1},\dots,x_{\ell}].

П

Пример. Полиномы

2\, x + y -1,\ y^2+\sqrt{3}\, x + \pi xy, \ {\mathbf i} x_1x_2^2

являются полиномами от двух переменных над множествами \mathbb Z , \mathbb R_{} и \mathbb C_{} соответственно. Мы также уже встречались с симметрическими полиномами от n_{} переменных.

\sum_{j=1}^n x_j \ , \ \sum_{1\le j <k \le n} x_jx_k \ , \sum_{j=1}^n x_j^3,\dots

Линейные полиномы рассматриваются ЗДЕСЬ

Степенью полинома f(x_1,x_{2},\dots,x_{\ell}) называется максимальная степень составляющих его одночленов.

Порядок следования степеней переменных в мономах несуществен: x^{2}y^3z=zx^2y^3. Однако имеет смысл договориться записывать мономы, располагая переменные в определенном порядке: например, считать, что всегда cтепени x_{} предшествуют степеням y_{}, а степени y_{} — степеням z_{}. Это позволяет нумеровать коэффициенты полинома. Так, произвольный полином от x_1,x_{2},\dots,x_{\ell} можно записать в виде

f(x_1,x_2,\dots,x_{\ell})=\sum a_{k_1,k_2,\dots,k_{\ell}} x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \ ,

где суммирование производится по всем различным упорядоченным наборам (иногда называемым мультииндексами) (k_1,k_{2},\dots,k_{\ell}):

0 \le k_1+k_2+\dots+k_{\ell} \le n= \deg f, \quad k_1\ge 0,\dots, k_{\ell} \ge 0 \ .
П

Пример. Произвольный полином второй степени от x,y_{} и z_{} имеет вид

a_{2,0,0}x^2+a_{1,1,0}xy+a_{1,0,1}xz+a_{0,2,0}y^2+a_{0,1,1}yz+a_{0,0,2}z^2+
+a_{1,0,0}x+a_{0,1,0}y+a_{0,0,1}z+a_{0,0,0} \ .

Каждый полином f(x_1,x_{2},\dots,x_{\ell}) можно формально записать как полином от какой-то одной из его переменных, в этом случае его коэффициенты будут полиномами от оставшихся переменных:

f(x_1,x_2,\dots,x_{\ell}) =a_0(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1} +a_1(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-1}+\dots+a_{n_1}(x_2,\dots,x_{\ell}) \ .

В этом случае будем говорить, что полином f_{} разложен по степеням (переменной) x_{1}. Если a_0(x_{2},\dots,x_{\ell})\not\equiv 0, то n_{1} называется степенью f_{} по x_{1}: \deg_{x_1}f=n_{1}.

?

Верно ли равенство:

\deg f=\deg_{x_1}f+\deg_{x_2}f+\dots + \deg_{x_{\ell}}f \ ?

Т

Теорема [Безу]. Полином n_{}-й степени от \ell_{} переменных имеет1)

C_{n+\ell}^{\ell}

коэффициентов.

Мономы полинома нескольких переменных можно переставлять произвольным образом, упорядочивая их по определенному правилу. Например, можно считать, что переменная x_{1} всегда «имеет преимущество» перед переменной x_{2}, а x_{2} — перед x_{3} и т.д. Таким образом, моном x_1^2x_2^2x_{3} будет поставлен в сумме перед мономом x_1x_2^2x_3^{3}. В ситуации x_1^2x_2^2x_{3} и x_1^2x_2^2x_3^2 на первое место поставим второй моном, как имеющий — при одинаковых степенях первых двух переменных — бóльшую степень x_{3}. Само такое упорядочение будем обозначать символами \succ_{} или \prec_{}:

x_2 \succ x_3, \ x_1^2x_2^2x_3 \succ x_1x_2^2x_3^3, \ x_1^2x_2^2x_3 \prec x_1^2x_2^2x_3^2

и называть (чисто) лексикографическим.

П

Пример. Полином

f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2x_2-2\,x_1^2x_3-8\,x_1x_2^5x_3^7+x_2^6x_3+x_2^2

приведен в лексикографической записи.

§

Название происходит от широко принятого принципа формирования словарей: слово Аахен предшествует Абба .

?

В чем заключается расхождение с принципом формирования словаря?

Еще один принцип упорядочения мономов полинома — по степени — поясняется НИЖЕ.

Интерполяция

Пусть заданы точки (узлы интерполяции)

(x_{j1},\dots,x_{j\ell}) \in \mathbb C^{\ell} \ npu \ j\in \{1,\dots, N \}

и заданы значения z_{j} функции в этих точках. Требуется построить полином от \ell_{} переменных, принимающий заданные значения в узлах интерполяции. Кажется, что задача должна решаться по аналогии с одномерным случаем: задание узлов интерполяции в количестве равном числу коэффициентов искомого полинома (см. теорему Безу ) N =C_{n+\ell}^{\ell} позволит однозначно определить полином степени, не превышающей \ell_{}.

Однако ситуация оказывается не такой простой. Подробности — в разделе ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Частные производные

Пусть разложение f(x_1,x_{2},\dots,x_{\ell}) по степеням x_{1} имеет вид:

f=a_0(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1} +a_1(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-1}+\dots+a_{n_1}(x_2,\dots,x_{\ell}) \ .

Частной производной полинома f_{} по x_{1} называется полином

n_1a_0(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-1}+ (n_1-1)a_1(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-2}+\dots+ a_{n_1-1}(x_2,\dots,x_{\ell}) \ ,

т.е. обычная производная полинома f_{} по x_{1}, когда оставшиеся переменные считаются константами. Этот полином обозначается

\frac{\partial f}{\partial x_1} \quad или \ {\partial f}/{\partial x_1} \quad или \ f^{\prime}_{x_1} \ .

Легко показать, что он получается дифференцированием по x_{1} каждого одночлена в полиноме:

\frac{\partial f}{\partial x_1}=\sum a_{k_1,k_2,\dots,k_{\ell}} k_1 x_1^{k_1-1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \ .

Аналогичным образом определяется и вычисляется частная производная по произвольной переменной x_{j}: {\partial f}/{\partial x_{j}}.

П

Пример. Для f(x,y,z)=2\,x^3y^2z+3\,y^{3}-yz^2+4\, x -1 имеем:

\frac{\partial f}{\partial x}=6\, x^2y^2z+4, \ \frac{\partial f}{\partial y}=4\, x^3yz+9\, y^2 - z^2,\ \frac{\partial f}{\partial z}=2\,x^3y^2-2\, y z \ .

Можно определять и частные производные высших порядков. Так, вторую производную по x_{1} можно определить как производную по x_{1} от функции {\partial f}/{\partial x_{1}}:

{\partial^2 f}/{\partial x_1^2} =f^{\prime \prime}_{x_1 x_1} = n_1(n_1-1)a_0(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-2}+
+(n_1-1)(n_1-2)a_1(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-3}+\dots+

Можно, однако, определить и производную от {\partial f}/{\partial x_{1}} по переменной x_{2} — переразложив для этого по степеням x_{2}. Такую производную обозначают

\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}=f^{\prime \prime}_{x_1 x_2} \ .

Для полинома, представленного формулой, имеем:

\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}= \sum a_{k_1,k_2,\dots,k_{\ell}} k_1 k_2 x_1^{k_1-1}x_2^{k_2-1} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \ .
П

Пример. Для полинома из предыдущего примера:

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=12\, xy^2z \ , \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=12\, x^2yz \ , \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}=6\, x^2y^2 \ ,
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=12\, x^2yz \ , \ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=4\, x^3z+18\, y \ , \ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}= \ ,
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x}= \qquad \ , \ \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}= \qquad \ , \ \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= \qquad \ .

Продолжая процесс нахождения частных производных, можно составить частные производные третьего порядка

\frac{\partial^3 f}{\partial x_k \partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial }{\partial x_k} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right) \ ,

четвертого и т.д. Таким образом, у полинома \ell_{} переменных существует \ell_{} производных первого порядка, \ell^{2} производных второго порядка и т.д. На самом деле, число различных производных N_{}-го порядка меньше \ell^N. Во-первых, очевидно, что

{\partial^N f}/{\partial x_j^N}\equiv 0 \quad при \ N>n_j=\deg_{x_j} f \ .

Во-вторых, в предыдущем примере можно было наблюдать одно явление: «смешанные» производные не зависели от порядка дифференцирования:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \ .
Т

Теорема. Для N_{}-й частной производной очередность, в которой производится дифференцирование полинома, не имеет значения:

\frac{\partial^N f}{\partial x_{i_1} \partial x_{i_2} \dots \partial x_{i_N} }= \frac{\partial^N f}{\partial x_{j_1} \partial x_{j_2} \dots \partial x_{j_N} } \ ,

где (не обязательно различные) индексы i_1,i_{2},\dots,i_N представляют перестановку индексов j_1,j_{2},\dots,j_N.

Однородный полином

Полином F(x_{1},x_2,\dots,x_{\ell}) называется однородным полиномом или формой степени (или порядка)